數學 B1 P68–P78｜國一完整解題

先把 −68 約成最簡分數：
−68＝−34。

逐一計算：
(A) −24＋624＋8
＝−3032
＝−1516，和 −34 不相等。

(B) −24−624−8
＝−1816
＝−98，和 −34 不相等。

(C) −24×624×8
分子、分母都有公因數 24，可以同除以 24：
＝−68
＝−34。
所以 (C) 正確。

(D) −24÷624÷8
＝−43，和 −34 不相等。

先把 −3042 約分：
−3042＝−57。

第一格：
−5□＝−57
所以 □＝7。

第二格：
−□28＝−57。
7 變成 28，是乘 4；
所以分子 5 也乘 4：
5×4＝20。
所以 □＝20。

第三格：
45□＝−57。
−5 變成 45，是乘 −9；
所以 7 也要乘 −9：
7×(−9)＝−63。
所以 □＝−63。

先化簡：
−3 510＝−3 12＝−72。

第一格：
−3 1□＝−3 12，
所以 □＝2。

第二格：
−14□＝−72。
−7 變成 −14，是乘 2；
所以分母 2 也乘 2：
2×2＝4。
所以 □＝4。

第三格：
−□6＝−72。
2 變成 6，是乘 3；
所以 7 也乘 3：
7×3＝21。
所以 □＝21。

先把 1218 約分：
1218＝23。

第一格：
2□＝23，
所以 □＝3。

第二格：
12＋□18＋9＝23。
18＋9＝27。
所以 12＋□27＝23。
3 變成 27，是乘 9；
2 也乘 9 得 18。
因此：
12＋□＝18
□＝18−12＝6。

第三格：
−10□＝23。
2 變成 −10，是乘 −5；
所以 3 也乘 −5：
3×(−5)＝−15。
所以 □＝−15。

依題面文字，「分子減 5」表示原來的分子 24 變成：
24−5＝19。

所以：
19□＝34。

用交叉相乘：
19×4＝3×□
76＝3×□
□＝763。

原分數＝35。
分子加 6 後：
3＋6＝9。

設分母要加 x，則新分母是 5＋x。
要保持分數值不變：
95＋x＝35。

交叉相乘：
9×5＝3×(5＋x)
45＝15＋3x
45−15＝3x
30＝3x
x＝10。

1830＝35。

(1) 3660＝35，所以相等。
(2) −9−15＝915＝35，所以相等。
(3) −610＝−35，不相等。
(4) 3−6＝−12，不相等。

所以依題面數值，(1)、(2) 都相等。

−46＝−23。

(1) −4＋126＋12＝−1618＝−89，不相等。
(2) −4−126−12＝−−8−6＝8−6＝−43，不相等。
(3) −4×126×12，分子、分母同乘 12，所以分數值不變，等於 −46。
(4) −12÷412÷6＝−32，不相等。

所以答案是 (3)。

以 −57 為基準。

第一格：
7 變成 28，是乘 4；
5 也乘 4：
5×4＝20。
所以第一格＝20。

第二格：
5 變成 10，是乘 2；
7 也乘 2：
7×2＝14。
所以第二格＝14。

先約分：
−156＝−52。

所以 −□2＝−52，第一格＝5。

又 −10□＝−52。
5 變成 10，是乘 2；
2 也乘 2：
2×2＝4。
第二格＝4。

原分母＝15。
加 10 後的新分母：
15＋10＝25。

原分數：
915＝35。

分母 5 變成 25，是乘 5；
所以分子 3 也乘 5：
3×5＝15。

原分子是 9，因此要增加：
15−9＝6。

36 和 30 的最大公因數是 6。
分子、分母同除以 6：
−3630＝−36÷630÷6
＝−65。

14 和 91 都可被 7 整除：
14÷7＝2
91÷7＝13。

所以：
−1491＝−213。
2 和 13 已互質，所以是最簡分數。

−1.25＝−125100。

125 和 100 的最大公因數是 25：
−125100
＝−125÷25100÷25
＝−54。

因為分數小於 1，而且分子是正整數，所以分子要：
小於 15。

又要是最簡分數，所以分子要和 15 互質。
15＝3×5，因此分子不能是 3 或 5 的倍數。

1～14 中逐一刪掉：
3、5、6、9、10、12、15（15 本來也不在範圍內）。

剩下：
1、2、4、7、8、11、13、14。
共 8 個。

先把左右兩個分數通分成分母 30：
−715＝−1430
−45＝−2430。

所以：
−1430 ＞ 甲30 ＞ −2430。
因為分母都相同而且是正數，只要比較分子：
−14 ＞ 甲 ＞ −24。

因此甲可能是：
−15、−16、−17、−18、−19、−20、−21、−22、−23。

但 甲30 還要是最簡分數，所以 |甲| 要和 30 互質。
30＝2×3×5。

逐一檢查：
15 與 30 有公因數；16 有 2；17 互質；18 有 2、3；19 互質；20 有 2、5；21 有 3；22 有 2；23 互質。

所以甲＝−17、−19、−23，共有 3 個。

21 和 12 的最大公因數是 3：
−2112＝−21÷312÷3
＝−74。

99＝9×11，121＝11×11。
分子、分母同除以 11：
−99121＝−911。

−0.5＝−510。
分子、分母同除以 5：
−510＝−12。

分子要是 1～11 的正整數。
又要和 12 互質。
12＝2²×3。

所以分子不能是 2 的倍數，也不能是 3 的倍數。
1～11 中符合的是：
1、5、7、11。
共 4 種。

把 14 和 13 都化成分母 36：
14＝936
13＝1236。

介於兩者之間的分數可能是：
1036、1136。

1036 可以同除以 2，並不是最簡分數。
11 和 36 互質，所以 1136 是最簡分數。

答案＝1136。

3、4、6 的最小公倍數是 12。

−23：分母 3×4＝12，所以分子也×4：
−23＝−812。

−34：分母 4×3＝12，所以分子也×3：
−34＝−912。

−56：分母 6×2＝12，所以分子也×2：
−56＝−1012。

兩個分母：
第一個＝2³×3×5²
第二個＝2×3²×5³。

共同分母取每個質因數的較大次方：
2³×3²×5³。

第一個分母還缺：
3×5＝15。
所以分子也乘 15：
−12³×3×5²
＝−152³×3²×5³。

第二個分母還缺：
2²＝4。
所以：
−12×3²×5³
＝−42³×3²×5³。

先看 a：
a=(715−314)−113
＝715−314−113。
這和 c 完全相同，所以：
a＝c。

再看 b：
b＝715−(314−113)。
括號前是減號，去括號後，括號內兩項都要變號：
b＝715−314＋113。

而 c＝715−314−113。
最後一項一個是＋113，一個是−113，所以：
b≠c。

故選 (B)。

負帶分數：
−5 79＝−(5＋79)。

把負號分配進括號：
−(5＋79)
＝−5−79。

所以正確的兩種寫法是：
−(5＋79)、−5−79。
而 −5＋79 不等於 −5 79。

−8 25＝−8−25。
所以原式：
−8 25＋34
＝−8−25＋34。

又因為：
−(25−34)＝−25＋34，
所以：
−8−(25−34)
＝−8−25＋34。

因此這兩種都正確。

括號前有一個負號：
−(6771−12−715)。

去括號時，每一項都變號：
＋6771 變 −6771；
−12 變 ＋12；
−715 變 ＋715。

所以：
−6771＋12＋715。

原式：
(−6771)−(12−715)。

第二個括號前是減號，所以去括號：
−(12−715)
＝−12＋715。

因此原式＝
−6771−12＋715。

也可以寫成：
−(6771＋12)＋715。

左邊：
−(12＋13)
＝−(36＋26)
＝−56。

右邊：
(−12)−(−13)
＝−12＋13
＝−36＋26
＝−16。

−56≠−16，所以不成立。
答案＝2。

左邊：
−(12−13)
＝−(36−26)
＝−16。

右邊：
13＋(−12)
＝26−36
＝−16。

兩邊相等，所以成立。
答案＝1。

左邊：
−(−12−13)
去括號後兩項變號：
＝12＋13
＝36＋26
＝56。

右邊：
13＋12＝26＋36＝56。

兩邊相等，所以答案＝1。

先把負帶分數寫清楚：
−1 316＝−1−316。
所以原式：
(−1−316)−(2＋37)。

把它看成四項相加：
−1−316−2−37。

加法可以交換順序：
＝−2−37−1−316
＝(−2−37)−(1＋316)。

這正是選項 (4)。

先把 2 56 化成假分數：
2 56＝2×6＋56＝176。

原式：
−415−176。
15 和 6 的最小公倍數是 30：
−415＝−830
−176＝−8530。

所以：
−830−8530
＝−9330
＝−3110。
也就是 −3 110。

2 215＝3215。
−1 19＝−109。

所以：
3215−109。
15 和 9 的最小公倍數是 45：
3215＝9645
109＝5045。

9645−5045
＝4645
＝1 145。

−2 25＝−125。
3 13＝103。

原式：
−125−74＋103。

5、4、3 的最小公倍數是 60：
−125＝−14460
−74＝−10560
103＝20060。

相加：
−144−105＋20060
＝−4960。

答案＝−4960。

先去括號：
711−(613−411)
＝711−613＋411。

先合併同分母：
711＋411＝1111＝1。

所以：
1−613
＝1313−613
＝713。

先把同分母的部分重新排列：
14 38＋4 19−(−2 19＋12 38)
＝14 38＋4 19＋2 19−12 38。

先算八分之一組：
14 38−12 38＝2。

再算九分之一組：
4 19＋2 19＝6 29。

所以總和：
2＋6 29
＝8 29
＝749。

第一個絕對值：
|−52−(−53)|
＝|−52＋53|
＝|−156＋106|
＝|−56|
＝56。

第二個絕對值：
|−136−76|
＝|−206|
＝206
＝103。

所以原式：
56−103
＝56−206
＝−156
＝−52。

先算各次方：
(−2)²＝4
(−2)³＝−8
(−2)⁴＝16。

原式：
1−2−24＋3−8−416
＝−12−12−38−14。

通分成分母 8：
−12＝−48
−12＝−48
−14＝−28。

所以：
−4−4−3−28
＝−138。

第一個分母＝2×3³×5²。
第二個分母＝2³×3²×5。

最小公倍數取：
2³×3³×5²。
其值＝8×27×25＝5400。

第一個分母要乘：
2²＝4，
所以第一個分數＝45400。

第二個分母要乘：
3×5＝15，
所以第二個分數＝155400。

相減：
45400−155400
＝−115400。

先比較三個數的大小。

1 100151 約為 1.66；
2 1951 約為 2.37；
3 115151 約為 3.76。
所以順序是：
1 100151 ＜ 2 1951 ＜ 3 115151。

因此：
|第一個−第二個|＋|第二個−第三個|
＝(第二個−第一個)＋(第三個−第二個)
中間的「第二個」一加一減會抵消：
＝第三個−第一個。

＝(3 115151)−(1 100151)
＝2＋15151
＝2 15151
＝317151。

先分解分母：
143＝11×13
91＝7×13。

最小公倍數＝7×11×13＝1001。

1143＝71001。
191＝111001。

相加：
71001＋111001
＝181001。
18 與 1001 互質，所以已是最簡分數。

要讓三數和最小，就選數值最小的三個數。

由小到大先看：
−8 35 最小；
−3 12 第二小；
正數中 1 14 ＜ 2 13 ＜ 6 13。

所以要選：
−8 35、−3 12、1 14。

化成假分數：
−8 35＝−435
−3 12＝−72
1 14＝54。

通分成 20：
−435＝−17220
−72＝−7020
54＝2520。

相加：
−172−70＋2520
＝−21720
＝−10 1720。

先去括號：
−2913−83＋313。

先合併分母 13：
−2913＋313
＝−2613
＝−2。

所以：
−2−83
＝−63−83
＝−143。

−1 23＝−53。

所以：
−53＋72。
通分成 6：
−106＋216
＝116。

−2 59＝−239。

減去負數等於加上正數：
56−(−239)
＝56＋239。

6 和 9 的最小公倍數是 18：
56＝1518
239＝4618。

相加：
1518＋4618
＝6118。

−1 23＝−53。
1 78＝158。

所以：
−53−158。
通分成 24：
−53＝−4024
−158＝−4524。

相加：
−4024−4524
＝−8524。

原式：
−14＋43−52。

4、3、2 的最小公倍數是 12：
−14＝−312
43＝1612
−52＝−3012。

相加：
−3＋16−3012
＝−1712。

答案＝−1712。

先化假分數：
3 14＝134
2 13＝73
2 34＝114
3 23＝113。

原式：
134＋73−(114−113)。

去括號：
＝134＋73−114＋113。

先合併同分母：
134−114＝24＝12。
73＋113＝183＝6。

所以：
6＋12＝132。

逐項化簡：
1−3＝−13。
3−3²＝39＝13。
9−3³＝9−27＝−13。
27−3⁴＝2781＝13。
81−3⁵＝81−243＝−13。

所以：
−13＋13−13＋13−13。
前四項兩兩抵消，剩下：
−13。

先看第一項：
22×3³×7²
分子分母同除以 2：
＝13³×7²。

要變成分母 2³×3³×7²，還缺 2³＝8：
＝82³×3³×7²。

第二項：
12³×3²×7。
要變成共同分母，還缺 3×7＝21：
＝212³×3³×7²。

相減：
8−212³×3³×7²
＝−132³×3³×7²。

所以 A＝−13。

先比較三個數：
1 213 約 1.15；
2 1951 約 2.37；
3 213 約 3.15。

所以第二個數介於第一、第三之間。
因此兩段距離相加，就是第一個到第三個的距離：
(3 213)−(1 213)
＝3−1
＝2。

先全部改成小數。

甲＝−4 38
38＝0.375
所以甲＝−4.375。

乙＝−4＋38
＝−4＋0.375
＝−3.625。

丙＝−3.375。

在負數中，越靠近 0 的數越大：
−3.375 ＞ −3.625 ＞ −4.375。

所以：
丙 ＞ 乙 ＞ 甲。

先比較三個正分數部分：
13、35、57。

13 和 35：
1×5＝5，3×3＝9，所以 13＜35。

35 和 57：
3×7＝21，5×5＝25，所以 35＜57。

因此：
2 13＜2 35＜2 57。

全部加上負號後，大小方向相反：
−2 13 ＞ −2 35 ＞ −2 57。

絕對值則去掉負號：
2 57 ＞ 2 35 ＞ 2 13。

先看與 1 的關係：
101100＞1；
99100＜1；
10099＞1。

只剩比較 10099 和 101100。
交叉相乘：
100×100＝10000
101×99＝9999。
因為 10000＞9999，所以：
10099＞101100。

因此：
10099 ＞ 101100 ＞ 1 ＞ 99100。

先比較它們的絕對值：
99100＜1＜101100＜10099。

全部加上負號後，大小順序反過來：
−99100 ＞ −1 ＞ −101100 ＞ −10099。

先比 319 和 213：
3×13＝39
2×19＝38。
39＞38，所以 319＞213。

再比 213 和 427：
2×27＝54
4×13＝52。
54＞52，所以 213＞427。

因此：
319 ＞ 213 ＞ 427。

全部通分成分母 60：
−1120＝−3360
−1330＝−2660
−3160＝−3160。

分母相同，比分子：
−26＞−31＞−33。

所以：
−1330 ＞ −3160 ＞ −1120。

先約分：
633＝211
1026＝513
1521＝57。

57 和 513 分子相同，分母較小的較大：
57＞513。

再比 513 和 211：
5×11＝55
2×13＝26。
所以 513＞211。

因此：
1521 ＞ 1026 ＞ 633。

先約分：
−5745＝−1915
−6351＝−2117
−9276＝−2319。

先比較正的絕對值：
1915、2117、2319。

1915 和 2117：
19×17＝323
21×15＝315
所以 1915＞2117。

2117 和 2319：
21×19＝399
23×17＝391
所以 2117＞2319。

因此絕對值：
1915＞2117＞2319。
加上負號後順序反過來：
−2319＞−2117＞−1915。

換回原題：
−9276 ＞ −6351 ＞ −5745。

−2 25 是負數，＋2 25 是正數。
任何負數都小於任何正數。

所以：
−2 25＜＋2 25。
應回答 (3)。

先去絕對值：
|−54|＝54
|−76|＝76
|−98|＝98。

比較 54 和 76：
5×6＝30
7×4＝28
所以 54＞76。

比較 76 和 98：
7×8＝56
9×6＝54
所以 76＞98。

答案：＞，＞。

上一小題已知：
54＞76＞98。

全部加上負號，大小順序反過來：
−54＜−76＜−98。

答案：＜，＜。

把 73 通分成分母 6：
73＝146。

146＞136，
所以 73＞136。
答案是 ＞（回答 1）。

先比較絕對值：
3 56 和 3 23。
23＝46，
所以 3 56＞3 46。

加上負號後順序反過來：
−3 56＜−3 23。
答案是 ＜（回答 3）。

先看正分數：
76、75、74 分子相同。
分母越小，正分數越大：
76＜75＜74。

加負號後順序反過來：
−76＞−75＞−74。

所以填：＞，＞。

先看正分數：
23、34、45。

23 和 34：
2×4＝8
3×3＝9
所以 23＜34。

34 和 45：
3×5＝15
4×4＝16
所以 34＜45。

因此正分數：
23＜34＜45。
全部加上負號後：
−23＞−34＞−45。

所以填：＞，＞。